文章內容目錄
- 根軌跡
- 幅值條件
- 相角條件
- 漸近線
- 分離點
- 會合點
[簡要敍述]
根軌跡法是一種圖形化方法，用於確定系統在增益變化時，封閉迴路極點在複平面的運動軌跡。
[詳細説明]
根軌跡由特徵方程 G(s)H(s) = -1 的根組成，其中 G(s) 是開迴路傳遞函數，H(s) 是反饋傳遞函數。
[幅值條件]
所有根軌跡上點的開迴路零點到該點的向量模長與開迴路極點到該點的向量模長的乘積為 1。
[相角條件]
所有開迴路零點到某一點的向量之和減去所有開迴路極點到該點的向量之和等於奇數倍的 180 度。
[漸近線]
對於高階系統，根軌跡趨向於實軸上的漸近線，其角度由分式 N(s) = P(s)/Q(s) 的極點數和零點數之間的差決定的。
[分離點和會合點]
分母 N(s) = P(s)/Q(s) 的導數 N'(s) = 0 的根稱為分離點或會合點。在這些點處，根軌跡會分開或會合。
[根軌跡的繪製步驟]
- 標出開迴路零點和極點。
- 標出實軸上的根軌跡區間，滿足相角條件。
- 確定漸近線的角度和交點。
- 找到分離點和會合點。
[應用]
根軌跡用於：
- 分析系統穩定性
- 設計迴路以滿足特定性能要求
- 研究參數變化對系統響應的影響
[例題]
考慮系統：G(s)H(s) = K/(s(s+1)(s+2))
[步驟]
- 開迴路零點和極點：0、-1、-2
- 根軌跡區間：[-∞,-2]、[-1,0]
- 漸近線角度：60°、180°、300°，交點：-1
- 分離點和會合點：無
[結論]
根軌跡顯示，該系統在 K < 0 時不穩定，在 K > 0 時穩定，並且 K = 3 時響應時間最小。
根軌跡例題與分析
根軌跡例題是一種探討控制系統迴路穩定性的圖形化方法。以下是 根軌跡例題 的詳細説明：
1. 系統方程式：
第一步是確定系統的傳遞函數，並將其轉換為特徵方程式。特徵方程式是一個關於複變變數 s 的代數方程式。
2. 根軌跡圖繪製：
根軌跡圖是複變平面上的一系列曲線，它們表示系統極點的運動軌跡，當系統參數變化時。最常見的參數變化是增益 K。
3. 根軌跡特徵：
根軌跡圖具有以下特徵：
| 特徵 | 描述 |
|---|---|
| 起點 | 特徵方程式的開 loop極點 |
| 終點 | 特徵方程式的閉 loop極點 |
| 分支點 | 根軌跡圖相交於實際軸的點 |
| 對稱點 | 根軌跡圖沿著實軸對稱的點 |
| 漸近線 | 根軌跡圖在無限遠處接近的直線 |
4. 根軌跡分析：
根軌跡圖可以幫助分析系統的穩定性，方法是觀察系統極點的位置。如果所有極點都位於複雜平面的左半平面，則系統是穩定的。如果任何一個極點位於右半平面，則系統是不穩定的。
例題 1：
分析以下傳遞函數的根軌跡圖：
G(s) = K / (s^2 + 2s + 1)
解答：
- 系統方程式：特徵方程式為
s^2 + 2s + 1 + K = 0。 -
根軌跡圖繪製：根軌跡圖如下所示：
[Image of root locus plot] -
根軌跡分析：
-
當
K < -1時，系統不穩定，因為兩個極點都位於右半平面。 - 當
K = -1時，系統臨界穩定，因為兩個極點位於虛軸上。 - 當
K > -1時，系統穩定，因為兩個極點都位於左半平面。
例題 2：
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（十四）【自控原理】（第四章根軌跡法）
6.5根軌跡繪製例題
G(s) = K / (s^3 + 3s^2 + 3s + 1)
- 系統方程式：特徵方程式為
s^3 + 3s^2 + 3s + 1 + K = 0。 -
根軌跡圖繪製：根軌跡圖如下所示：
[Image of root locus plot] -
當
K < 1時，系統不穩定，因為一個極點位於右半平面。 - 當
K = 1時，系統臨界穩定，因為一個極點位於虛軸上。 - 當
K > 1時，系統穩定，因為所有極點都位於左半平面。